Las relaciones trigonométricas son igualdades entre expresiones matemáticas que contienen funciones trigonométricas y son aplicables a todos los valores del ángulo en los que se encuentren definidas las funciones, así como cualquier operación aritmética involucrada. Algunas de las relaciones usadas en las relaciones trigonométricas provienen del Teorema de Pitágoras.
Las relaciones trigonométricas son ideales para ser utilizadas cuando necesitas simplificar expresiones que incluyen distintas funciones trigonométricas, sin importar los valores de los ángulos para las cuales estas definidas, estas nos permiten plantear una misma expresión matemática de diferentes formas.
De la misma manera en que se utiliza la factorización para simplificar las expresiones algebraicas, también se utiliza la técnica de las identidades trigonométricas para simplificar expresiones trigonométricas. La trigonometría está basada en la semejanza de dos triángulos que tengan un ángulo recto, siempre y cuando cuenten con ángulos agudos correspondientes de igual medida.
La semejanza de los ángulos mencionados contribuye a que las relaciones entre los lados correspondientes de los triángulos se mantengan como valores constantes, permitiendo así que sean definidas las relaciones trigonométricas; de igual manera contribuye a la resolución de gráficas y fórmulas con las que se solucionan problemas matemáticos.
A continuación te explicaremos brevemente las relaciones trigonométricas así como algunos de sus tipos para que comprendas mejor su aplicación en la resolución de problemas matemáticos.
Relaciones trigonométricas fundamentales
Las relaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas y que a su vez son equivalentes para todos y cada uno de los valores de las variables involucradas. Las razones trigonométricas constituyen la base de los ejercicios de trigonometría que podemos desarrollar en matemáticas.
Las relaciones trigonométricas fundamentales se refieren a todas las variables existentes de los ángulos que pueden aparecer en una figura geométrica, la razón por la que son consideradas fundamentales en matemáticas es porque sirven como base para demostrar otras fórmulas o ecuaciones aún más complejas.
Las relaciones trigonométricas se utilizan para la simplificación de expresiones trigonométricas, es decir, que son útiles para mostrar que cada vez que se cumple la primera expresión matemática, se cumplirá la segunda expresión. Dichas relaciones se dividen en tres categorías distintas, cocientes, pitagóricas y recíprocas, se conocen como:
- Sen= seno.
- Cos= coseno.
- Tag= tangente.
- Sec= secante.
- Cosec= cosecante.
- Cotag= cotangente.
Las relaciones trigonométricas pitagóricas son producto del Teorema de Pitágoras y se expresan de la siguiente manera:
Las relaciones trigonométricas recíprocas se obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, como por ejemplo, el seno y la cosecante, se expresan de la siguiente manera:
- Sen α= 1/csc α
- Cos α= 1/sec α
- Tag α= 1/cotg α
- Cosec α= 1/sen α
- Sec α= 1/cos α
- Cotag α = 1/tan α
Las relaciones cocientes tienen este nombre porque cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos relaciones trigonométricas:
- Tag u= sen u/ cos u
- Cotg u= sen u/ cos u
Las relaciones trigonométricas fundamentales mencionadas anteriormente, sirven como base para resolver otras relaciones como las de ángulo doble e hiperbólica de las cuales te hablaremos a continuación.
Otras razones trigonométricas
Relaciones trigonométricas ángulo doble
Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se expresan en función de las razones trigonométricas del ángulo α, las cuales se establecen de la siguiente manera:
- El seno del ángulo doble es:
sen (2α)=sen (α +α) = sen (α) cos (α) + sen (α) cos (α) = 2 senα cosα
- El coseno del ángulo doble es:
cos (2α)=cos (α +α)=cosα.cosα – senα.senα=cos2α -sen2α
- La tangente del ángulo doble es:
Las relaciones trigonométricas del ángulo doble se deducen con facilidad a través de las relaciones trigonométricas del ángulo suma, en este caso solo debe sustituirse β por α. Estas se obtienen de la siguiente manera:
Seno del ángulo doble
Sea la fórmula del seno del ángulo suma:
sen (α+β)=senα.cosβ +cosα.senβ
Con la transformación β = α se obtiene el seno del ángulo doble
sen (2α)=sen (α +α) = sen (α) cos (α) + sen (α) cos (α) = 2 senα cosα
Coseno del ángulo doble
Se toma la fórmula del coseno del ángulo suma y se obtiene el del ángulo doble de esta manera:
cos (a+β) = cosa.cosβ – sena.senβ
Se aplica la transformación β = α y se obtiene esta fórmula:
cos (2α)=cos (α +α)=cosα.cosα – senα.senα=cos2α -sen2α
Tangente del ángulo doble
Se toma la fórmula de la tangente ángulo suma:
A través de la transformación β = α se obtiene la tangente del ángulo doble:
Relaciones trigonométricas hiperbólicas
Las relacionestrigonométricasse definen por medio de las expresiones algebraicas que incluyen funciones exponenciales ex y su función inversa e-x, donde «e» es la constante de Euler (se le conoce comúnmente como número «e») y su valor aproximado es 2,718281. Las relaciones trigonométricas hiperbólicas básicas son seno hiperbólico (sinh) y el coseno hiperbólico (cosh) de estos deriva la relación hiperbólica de tangente hiperbólica (tanh).
Se denominan relaciones trigonométricas hiperbólicas al coseno hiperbólico (cosh), seno hiperbólico (senh) y las relaciones que se obtienen a partir de ellas, como la tangente hiperbólica (tanh) y sus relaciones inversas.
- El coseno hiperbólico se expresa de la siguiente manera. Es una relación trigonométrica par.
- El seno hiperbólico se expresa así . Es una relación trigonométrica impar.
- La tangente hiperbólica se expresa de esta manera , está también es una relación trigonométrica impar.
- La cotangente hiperbólica se expresa de la siguiente manera es una relación trigonométrica impar.
- La secante hiperbólica se expresa así,es una relación trigonométrica par.
- La cosecante hiperbólica se expresa de la siguiente manera, es una relación trigonométrica impar.
Las relaciones trigonométricas hiperbólicas son en resumen, una forma de combinación especial de las funciones exponenciales, que se observan en la solución de algunas ecuaciones diferenciales, se les llama así porque tienen características muy parecidas a las relaciones trigonométricas circulares. Esto quiere decir que sus propiedades algebraicas pueden ser consideradas análogas a las funciones trigonométricas fundamentales.
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Tangente, abreviadamente se escribe tg no tag. Lo mismo ocurre con la cotangente que se escribe cot
Estuve revisando rápidamente y vi lo siguiente:
Las relaciones cocientes tienen este nombre porque cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos relaciones trigonométricas:
Tag u= sen u/ cos u
Cotg u= sen u/ cos u
No es necesario ser matemático para intuír que ahí hay un pequeño error el la «cotg u», le dejo mi comentario esperando ser tomado en cuenta. Coordiales saludos.
Daniel de Colombia.