Método de Polya para resolución de problemas matemáticos

Método de Polya

La resolución de problemas matemáticos es una habilidad fundamental para el desarrollo cognitivo, académico y personal de los estudiantes. Según un estudio reciente de la Universidad Complutense de Madrid, más del 70% de los docentes consideran que la aplicación de técnicas estructuradas, como el método de Polya, mejora significativamente la comprensión y resolución de problemas matemáticos en estudiantes.

Con este artículo, nosotros buscamos ofrecer una guía detallada sobre cómo el método de Polya puede transformar la manera en que abordamos los problemas matemáticos. La necesidad de su lectura radica en la importancia de equipar a las nuevas generaciones con herramientas que les permitan no solo resolver problemas, sino también desarrollar un pensamiento crítico y analítico. 📚✏️

¡Sigue leyendo y descubre cómo el método de Polya puede ser tu aliado en el fascinante mundo de las matemáticas!


¿Qué es el método de Polya y cómo se aplica?

El Método de Polya es una estrategia estructurada diseñada por el matemático húngaro George Polya, cuyo principal objetivo es facilitar la resolución de problemas matemáticos. Esta metodología no solo se centra en encontrar la solución, sino también en entender el problema en su totalidad, diseñar un plan de acción y, finalmente, revisar la solución obtenida.

El método consta de 4 pasos para resolver problemas matemáticos, que son los siguientes:

  • Comprender el problema
  • Elaborar un plan
  • Ejecutar el plan
  • Comprobar las soluciones obtenidas

¿Qué ventajas tiene el método de Polya para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas?

La implementación del método de Polya en la enseñanza tiene múltiples beneficios:

  1. Desarrollo del pensamiento crítico: Al obligar al estudiante a entender el problema antes de intentar resolverlo, se fomenta un pensamiento más analítico y reflexivo.
  2. Flexibilidad: A diferencia de otros métodos que ofrecen una única solución, el método de Polya permite múltiples enfoques y soluciones, adaptándose a la naturaleza del problema.
  3. Confianza: Al tener un proceso estructurado, los estudiantes sienten mayor seguridad al enfrentarse a problemas complejos.

¿Qué tipos de problemas se pueden resolver con el método de Polya?

Prácticamente cualquier desafío matemático puede abordarse con este método. Desde problemas aritméticos básicos hasta ecuaciones diferenciales complejas. Algunos ejemplos incluyen:

  • Problemas de lógica y razonamiento.
  • Ecuaciones algebraicas.
  • Problemas geométricos.
  • Cuestiones relacionadas con la probabilidad y estadística.
En resumen, el Método de Polya es una herramienta versátil y poderosa que, cuando se aplica correctamente, puede transformar la manera en que los estudiantes, docentes y, en general, cualquier persona, aborda los desafíos matemáticos. Su enfoque estructurado y flexible lo convierte en una estrategia esencial para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Las cuatro fases del método de Polya

El Método de Polya no es simplemente una técnica, sino un proceso estructurado que se divide en cuatro fases esenciales. Estas fases garantizan un enfoque sistemático y eficiente para resolver problemas matemáticos, permitiendo a estudiantes y docentes abordar desafíos con mayor confianza y precisión.

Comprender el problema

La primera fase es, sin duda, la más crucial. Para poder resolver un problema, primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. En esta fase es esencial eliminar o traducir aquellos términos que se desconozcan o que encubran el sentido del problema. Para eso, podemos responder a preguntas como:

  • ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
  • ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
  • ¿Es posible hacer una figura, un esquema o diagrama?
  • ¿Es posible estimar la respuesta?

Elaborar un plan

Se debe elaborar una estrategia, una línea de pensamiento, para resolver el problema. Estas estrategias dependen, entre otros aspectos, de:

  1. 1. Conocimientos previos.
  2. 2. Relación con otros tema
  3. 3. Similitud con otros problemas

Algunas de las estrategias más utilizadas son:

  • Ensayo y error.
  • Razonamiento regresivo.
  • Estudio de casos particulares
  • Trazar un gráfico o diagrama.
  • Descomponer el problema en partes con solución conocida. En esta fase, podemos responder a preguntas como:
    • ¿Recuerdas algún  problema  parecido  a  este  que  pueda  ayudarte  a resolverlo?
    • ¿Puedes enunciar  el  problema  de  otro  modo?  Escoge  un lenguaje adecuado y una notación apropiada.
    • ¿Utilizaste todos los datos? ¿Has tenido en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?
    • ¿Se puede resolver este problema por partes?
    • Intenta organizar los datos en tablas o gráficos
    • ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?
    • ¿Cuál es el plan para resolver el problema?

Ejecutar el plan

Se ejecuta el plan:

  • Realizar los cálculos, operaciones o procedimientos necesarios: Esta es la fase donde se aplica la matemática.
  • Verificar que se cumplan las condiciones del problema: Asegurarse de que no se haya pasado por alto ningún detalle.
  • Escribir la solución de forma clara y ordenada: Una solución bien presentada es esencial para su comprensión.

Comprobación de las soluciones obtenidas

En el paso de comprobación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también en relación con la posibilidad de usar otras estrategias diferentes a la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original. También se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de él.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

  • ¿Su respuesta tiene sentido?
  • ¿Está de acuerdo con la información del problema?
  • ¿Hay otro modo de resolver el problema?
  • ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver problemas semejantes?
  • ¿Se puede generalizar?

Ejemplos de aplicación del método de Polya

Ejemplo 1

Antonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. Para ello tiene que construir una pared. El primer día de construcción usó 3/8 de los ladrillos que tenía; el segundo día usó 1/6 de los ladrillos que tenía al principio. Entonces contó los ladrillos que le quedaban y eran 55. ¿Cuántos ladrillos tenía cuando comenzó a construir la pared?

Resolución:

1º Comprender el problema

  • ¿Qué pide el problema?

–  La cantidad de ladrillos que tenía al comenzar a construir el muro.

  • ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?

–  Antonio tiene cierta cantidad de ladrillos.

–  El primer día utiliza 3/8 de esa cantidad.

–  El segundo día utiliza 1/6 de esa cantidad.

–  Le quedan 55 ladrillos para el tercer día.

2º Elaborar un plan

Para este problema vamos a plantear tres planes diferentes (A, B y C).

PLAN A

Estrategia: Hacer un gráfico

  • Primer día: “El primer día de construcción usó 3/8 de los ladrillos que tenía”

resolución de problemas método Polya1

  • Segundo día: “el segundo día usó 1/6 de los ladrillos que tenía al principio”

resolución de problemas método Polya

  • Tercer día: “contó los ladrillos que le quedaban y eran 55”

resolución de problemas método Polya

Son 22 los recuadros correspondientes a 55 ladrillos, por lo que estableciendo una regla de tres se obtendría el resultado buscado.

PLAN B

Estrategia: Hacer un esquema

Método de Polya para resolución de problemas matemáticos

Observa que la suma de las fracciones que representan al número de ladrillos utilizando cada día es igual a la unidad, la cual representa la cantidad total de ladrillos que tenía para trabajar los 3 días.

Hallamos la fracción que representa a los ladrillos que se utilizan el primer y segundo día, mediante suma de fracciones.

Luego hallamos la fracción que representa a los ladrillos que se utilizan el tercer día, restando a la unidad la fracción anterior. Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.

PLAN C

Estrategia: Utilizar una ecuación

ecuaciones Método de Polya

3º Ejecutar el plan

PLAN A

resolver problemas Método de Polya

PLAN B

resolver problemas Método de Polya

PLAN C

ecuaciones Método de Polya

Ejemplo 2: Problema de geometría

El problema que vamos a resolver es el siguiente:

Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 12 cm y la hipotenusa que mide 15 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Para resolver este problema, vamos a aplicar el método de Polya siguiendo estos pasos:

1º Comprender el problema

  • Lo primero que debemos hacer es leer y analizar el enunciado del problema, identificando los datos, las incógnitas y las condiciones que se nos dan. En este caso, los datos son las medidas de un cateto y la hipotenusa del triángulo rectángulo, la incógnita es la medida del otro cateto y la condición es que el triángulo sea rectángulo.
  • A continuación, podemos reformular el problema con nuestras propias palabras, para asegurarnos de que lo hemos entendido bien. Por ejemplo, podríamos decir: “Queremos saber cuánto mide el lado más corto de un triángulo que tiene un ángulo recto y dos lados que miden 12 cm y 15 cm”.

2º Elaborar un plan

  • El siguiente paso es buscar una estrategia para resolver el problema, basándonos en nuestros conocimientos previos o en la similitud con otros problemas. En este caso, podemos usar el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:

    pitagoras

    donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

  • Una vez que tenemos la estrategia, debemos establecer los pasos a seguir para resolver el problema. En este caso, los pasos serían:
    • Sustituir los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.
    • Despejar la incógnita.
    • Calcular el resultado.

3º Ejecutar el plan

  • El tercer paso es llevar a cabo el plan, realizando las operaciones o procedimientos necesarios para obtener la solución. En este caso, debemos hacer lo siguiente:
    • Sustituir los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras:

resolver problema de pitagoras

    • Despejar la incógnita:

pitagoras

    • Calcular el resultado:

problema de geometría

    • Por último, debemos verificar que la solución cumpla con las condiciones del problema. En este caso, debemos comprobar que el triángulo sea rectángulo y que las medidas sean coherentes. Para ello, podemos usar la fórmula del teorema de Pitágoras al revés:lo que se cumple. También podemos dibujar el triángulo y medir los lados con una regla, para ver si coinciden con los valores obtenidos.

resolver problemas

4º Comprobación de los resultados obtenidos

  • El último paso es hacer una visión retrospectiva, donde debemos comprobar que la solución sea correcta y coherente, reflexionar sobre el proceso seguido y las dificultades encontradas, y generalizar o transferir lo aprendido a otros problemas o situaciones. En este caso, podríamos hacer lo siguiente:
    • Comprobar que la solución sea correcta y coherente: Hemos obtenido que el otro cateto mide 9 cm, lo que parece razonable, ya que es menor que la hipotenusa y mayor que el cateto dado. Además, hemos verificado que el triángulo sea rectángulo, usando la fórmula del teorema de Pitágoras al revés y dibujando el triángulo.
    • Reflexionar sobre el proceso seguido y las dificultades encontradas: Hemos seguido el método de Polya, usando el teorema de Pitágoras como estrategia para resolver el problema. No hemos encontrado muchas dificultades, ya que el problema era bastante sencillo y conocíamos la fórmula del teorema de Pitágoras. Sin embargo, podríamos haber cometido algún error al hacer las operaciones o al despejar la incógnita, por lo que es importante revisar los cálculos y las unidades.
    • Generalizar o transferir lo aprendido a otros problemas o situaciones: Hemos aprendido a usar el teorema de Pitágoras para resolver problemas de geometría que involucran triángulos rectángulos. Podemos usar este conocimiento para resolver otros problemas similares, como calcular la altura de un edificio, la distancia entre dos puntos o el área de una figura. También podemos aplicar el método de Polya a otros tipos de problemas matemáticos o de otras disciplinas, siguiendo las mismas fases y adaptando las estrategias según el caso.

conclusiones y preguntas frecuentes


Conclusión

En este artículo hemos visto cómo aplicar el método de Polya para resolver problemas matemáticos de forma eficaz y creativa. Hemos aprendido que el método de Polya consiste en seguir cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y comprobar los resultados. Hemos visto qué estrategias se pueden usar en cada fase y qué beneficios tiene el método de Polya para el aprendizaje significativo y el desarrollo del pensamiento crítico. También hemos practicado con algunos ejemplos y actividades de diferentes tipos de problemas matemáticos.

Esperamos que este artículo te haya sido útil y que te anime a usar el método de Polya en tu vida cotidiana. El método de Polya no solo te ayuda a resolver problemas matemáticos, sino que también te permite enfrentarte a otros desafíos o situaciones que requieren de razonamiento lógico, creatividad y reflexión. Además, el método de Polya se puede aplicar a otras disciplinas como la física, la química o la informática, donde también se plantean problemas que se pueden resolver siguiendo las mismas fases y adaptando las estrategias según el caso.

Si te ha gustado este artículo, te invitamos a dejar tus comentarios o sugerencias al final de la página. También puedes compartir este artículo con tus amigos, familiares o compañeros que estén interesados en mejorar sus habilidades matemáticas. Y si quieres seguir aprendiendo sobre el método de Polya y otros temas relacionados con la educación matemática, te recomendamos que visites nuestro blog educativo, donde encontrarás más artículos, recursos y actividades para aprender y disfrutar de las matemáticas.

© 2023 ▷ Educapeques ➡➤ [ Método de Polya para resolución de problemas matemáticos ] Recursos para el aula ✏️ Ángel Sánchez Fuentes | 👨‍🎓Docente y creador de blogs educativos @educapeques

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2 comentarios de “Método de Polya para resolución de problemas matemáticos

  1. Arturo Lobo dice:

    Un gracias por explicarnos el método POLYA. Soy un profesor español -Arturo Lobo- que doy clases desde hace 26 años en la zona rural de Honduras. He le{ido la estrategia Polya y donde yo me encuentro sufrimos dos grandes inconvenientes. No tenemos profesores buenos de matemáticas en la primaria, y segundo los alumnos llegan a séptimo sin saber leer -entonar, pronunciar la tónica correctamente, sin haber educado el gusto por la lectura y por lo tanto sin entender lo que dice y pide el problema al que se enfrentan.
    Gracias por lo bien explicado que está el MÉTODO POLYA y en mis clases antes paso un tiempo para que les guste y gocen con la lectura. Intento conseguir libros de lectura y hacerles gustar la lectura

    • educapeques dice:

      Estimado Arturo Lobo,

      Primero que todo, quiero expresar mi admiración y respeto por la labor que realizas en la zona rural de Honduras. Ser profesor en condiciones desafiantes es una tarea encomiable y seguramente has dejado una huella imborrable en muchos estudiantes a lo largo de tus 26 años de servicio.

      Entiendo perfectamente los desafíos que describes. La falta de una educación matemática sólida en primaria puede llevar a dificultades en etapas posteriores. Asimismo, la lectura es una habilidad fundamental que, cuando no se domina, afecta el aprendizaje en todas las áreas, incluidas las matemáticas. Sin la capacidad de comprender un problema, es difícil abordarlo, independientemente del método que se utilice.

      Celebro que hayas encontrado útil el método POLYA. Es una herramienta poderosa para enseñar a los estudiantes a abordar problemas matemáticos de manera sistemática. Sin embargo, como bien señalas, si un estudiante no puede leer y comprender el problema en primer lugar, el método no será tan efectivo.

      Me alegra saber que estás tomando medidas para fomentar el amor por la lectura en tus estudiantes. La lectura no solo es una habilidad esencial para el aprendizaje, sino que también puede ser una fuente de placer y enriquecimiento personal. Conseguir libros y dedicar tiempo a la lectura en clase son excelentes iniciativas. Si bien puede ser un desafío inicial, con persistencia y pasión, es posible inculcar en los estudiantes un amor duradero por la lectura.

      Te animo a continuar con tu valiosa labor y a seguir buscando recursos y estrategias para superar los desafíos que enfrentas. La educación es una herramienta poderosa para el cambio, y con profesores dedicados como tú, estoy seguro de que se pueden lograr grandes avances.

      Un cordial saludo y mucho ánimo en tu noble misión.
      Educapeques

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