Método de Polya para resolución de problemas matemáticos

La resolución de problemas matemáticos es una habilidad fundamental para el desarrollo cognitivo, académico y personal de los estudiantes. Según un estudio reciente de la Universidad Complutense de Madrid, más del 70% de los docentes consideran que la aplicación de técnicas estructuradas, como el método de Polya, mejora significativamente la comprensión y resolución de problemas matemáticos en estudiantes.

¿Qué es el método de Polya y cómo se aplica?

El Método de Polya es una estrategia estructurada diseñada por el matemático húngaro George Polya, cuyo principal objetivo es facilitar la resolución de problemas matemáticos. Esta metodología no solo se centra en encontrar la solución, sino también en entender el problema en su totalidad, diseñar un plan de acción y, finalmente, revisar la solución obtenida.

El método consta de 4 pasos para resolver problemas matemáticos, que son los siguientes:

• Comprender el problema
• Elaborar un plan
• Ejecutar el plan
• Comprobar las soluciones obtenidas

¿Qué ventajas tiene el método de Polya para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas?

La implementación del método de Polya en la enseñanza tiene múltiples beneficios:

1. Desarrollo del pensamiento crítico: Al obligar al estudiante a entender el problema antes de intentar resolverlo, se fomenta un pensamiento más analítico y reflexivo.
2. Flexibilidad: A diferencia de otros métodos que ofrecen una única solución, el método de Polya permite múltiples enfoques y soluciones, adaptándose a la naturaleza del problema.
3. Confianza: Al tener un proceso estructurado, los estudiantes sienten mayor seguridad al enfrentarse a problemas complejos.

¿Qué tipos de problemas se pueden resolver con el método de Polya?

Prácticamente cualquier desafío matemático puede abordarse con este método. Desde problemas aritméticos básicos hasta ecuaciones diferenciales complejas. Algunos ejemplos incluyen:

• Problemas de lógica y razonamiento.
• Ecuaciones algebraicas.
• Problemas geométricos.
• Cuestiones relacionadas con la probabilidad y estadística.

Las cuatro fases del método de Polya

El Método de Polya no es simplemente una técnica, sino un proceso estructurado que se divide en cuatro fases esenciales. Estas fases garantizan un enfoque sistemático y eficiente para resolver problemas matemáticos, permitiendo a estudiantes y docentes abordar desafíos con mayor confianza y precisión.

Comprender el problema

La primera fase es, sin duda, la más crucial. Para poder resolver un problema, primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. En esta fase es esencial eliminar o traducir aquellos términos que se desconozcan o que encubran el sentido del problema. Para eso, podemos responder a preguntas como:

• ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
• ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
• ¿Es posible hacer una figura, un esquema o diagrama?
• ¿Es posible estimar la respuesta?

Elaborar un plan

Se debe elaborar una estrategia, una línea de pensamiento, para resolver el problema. Estas estrategias dependen, entre otros aspectos, de:

1. 1. Conocimientos previos.
2. 2. Relación con otros tema
3. 3. Similitud con otros problemas

Algunas de las estrategias más utilizadas son:

• Ensayo y error.
• Razonamiento regresivo.
• Estudio de casos particulares
• Trazar un gráfico o diagrama.
• Descomponer el problema en partes con solución conocida. En esta fase, podemos responder a preguntas como:
  • ¿Recuerdas algún  problema  parecido  a  este  que  pueda  ayudarte  a resolverlo?
  • ¿Puedes enunciar  el  problema  de  otro  modo?  Escoge  un lenguaje adecuado y una notación apropiada.
  • ¿Utilizaste todos los datos? ¿Has tenido en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?
  • ¿Se puede resolver este problema por partes?
  • Intenta organizar los datos en tablas o gráficos
  • ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?
  • ¿Cuál es el plan para resolver el problema?

Ejecutar el plan

Se ejecuta el plan:

• Realizar los cálculos, operaciones o procedimientos necesarios: Esta es la fase donde se aplica la matemática.
• Verificar que se cumplan las condiciones del problema: Asegurarse de que no se haya pasado por alto ningún detalle.
• Escribir la solución de forma clara y ordenada: Una solución bien presentada es esencial para su comprensión.

Comprobación de las soluciones obtenidas

En el paso de comprobación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también en relación con la posibilidad de usar otras estrategias diferentes a la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original. También se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de él.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

• ¿Su respuesta tiene sentido?
• ¿Está de acuerdo con la información del problema?
• ¿Hay otro modo de resolver el problema?
• ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver problemas semejantes?
• ¿Se puede generalizar?

Ejemplos de aplicación del método de Polya

Ejemplo 1

Resolución:

1º Comprender el problema

• ¿Qué pide el problema?

–  La cantidad de ladrillos que tenía al comenzar a construir el muro.

• ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?

–  Antonio tiene cierta cantidad de ladrillos.

–  El primer día utiliza 3/8 de esa cantidad.

–  El segundo día utiliza 1/6 de esa cantidad.

–  Le quedan 55 ladrillos para el tercer día.

2º Elaborar un plan

Para este problema vamos a plantear tres planes diferentes (A, B y C).

PLAN A

Estrategia: Hacer un gráfico

• Primer día: “El primer día de construcción usó 3/8 de los ladrillos que tenía”

• Segundo día: “el segundo día usó 1/6 de los ladrillos que tenía al principio”

• Tercer día: “contó los ladrillos que le quedaban y eran 55”

Son 22 los recuadros correspondientes a 55 ladrillos, por lo que estableciendo una regla de tres se obtendría el resultado buscado.

PLAN B

Estrategia: Hacer un esquema

Observa que la suma de las fracciones que representan al número de ladrillos utilizando cada día es igual a la unidad, la cual representa la cantidad total de ladrillos que tenía para trabajar los 3 días.

Hallamos la fracción que representa a los ladrillos que se utilizan el primer y segundo día, mediante suma de fracciones.

Luego hallamos la fracción que representa a los ladrillos que se utilizan el tercer día, restando a la unidad la fracción anterior. Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.

PLAN C

Estrategia: Utilizar una ecuación

3º Ejecutar el plan

PLAN A

PLAN B

PLAN C

Ejemplo 2: Problema de geometría

El problema que vamos a resolver es el siguiente:

Para resolver este problema, vamos a aplicar el método de Polya siguiendo estos pasos:

1º Comprender el problema

• Lo primero que debemos hacer es leer y analizar el enunciado del problema, identificando los datos, las incógnitas y las condiciones que se nos dan. En este caso, los datos son las medidas de un cateto y la hipotenusa del triángulo rectángulo, la incógnita es la medida del otro cateto y la condición es que el triángulo sea rectángulo.
• A continuación, podemos reformular el problema con nuestras propias palabras, para asegurarnos de que lo hemos entendido bien. Por ejemplo, podríamos decir: “Queremos saber cuánto mide el lado más corto de un triángulo que tiene un ángulo recto y dos lados que miden 12 cm y 15 cm”.

2º Elaborar un plan

• El siguiente paso es buscar una estrategia para resolver el problema, basándonos en nuestros conocimientos previos o en la similitud con otros problemas. En este caso, podemos usar el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:

  

  donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

• Una vez que tenemos la estrategia, debemos establecer los pasos a seguir para resolver el problema. En este caso, los pasos serían:
  • Sustituir los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.
  • Despejar la incógnita.
  • Calcular el resultado.

3º Ejecutar el plan

• El tercer paso es llevar a cabo el plan, realizando las operaciones o procedimientos necesarios para obtener la solución. En este caso, debemos hacer lo siguiente:
  • Sustituir los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras:

• • Despejar la incógnita:

• • Calcular el resultado:

• • Por último, debemos verificar que la solución cumpla con las condiciones del problema. En este caso, debemos comprobar que el triángulo sea rectángulo y que las medidas sean coherentes. Para ello, podemos usar la fórmula del teorema de Pitágoras al revés:lo que se cumple. También podemos dibujar el triángulo y medir los lados con una regla, para ver si coinciden con los valores obtenidos.

4º Comprobación de los resultados obtenidos

• El último paso es hacer una visión retrospectiva, donde debemos comprobar que la solución sea correcta y coherente, reflexionar sobre el proceso seguido y las dificultades encontradas, y generalizar o transferir lo aprendido a otros problemas o situaciones. En este caso, podríamos hacer lo siguiente:
  • Comprobar que la solución sea correcta y coherente: Hemos obtenido que el otro cateto mide 9 cm, lo que parece razonable, ya que es menor que la hipotenusa y mayor que el cateto dado. Además, hemos verificado que el triángulo sea rectángulo, usando la fórmula del teorema de Pitágoras al revés y dibujando el triángulo.
  • Reflexionar sobre el proceso seguido y las dificultades encontradas: Hemos seguido el método de Polya, usando el teorema de Pitágoras como estrategia para resolver el problema. No hemos encontrado muchas dificultades, ya que el problema era bastante sencillo y conocíamos la fórmula del teorema de Pitágoras. Sin embargo, podríamos haber cometido algún error al hacer las operaciones o al despejar la incógnita, por lo que es importante revisar los cálculos y las unidades.
  • Generalizar o transferir lo aprendido a otros problemas o situaciones: Hemos aprendido a usar el teorema de Pitágoras para resolver problemas de geometría que involucran triángulos rectángulos. Podemos usar este conocimiento para resolver otros problemas similares, como calcular la altura de un edificio, la distancia entre dos puntos o el área de una figura. También podemos aplicar el método de Polya a otros tipos de problemas matemáticos o de otras disciplinas, siguiendo las mismas fases y adaptando las estrategias según el caso.

Conclusión

En este artículo hemos visto cómo aplicar el método de Polya para resolver problemas matemáticos de forma eficaz y creativa. Hemos aprendido que el método de Polya consiste en seguir cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y comprobar los resultados. Hemos visto qué estrategias se pueden usar en cada fase y qué beneficios tiene el método de Polya para el aprendizaje significativo y el desarrollo del pensamiento crítico. También hemos practicado con algunos ejemplos y actividades de diferentes tipos de problemas matemáticos.

Esperamos que este artículo te haya sido útil y que te anime a usar el método de Polya en tu vida cotidiana. El método de Polya no solo te ayuda a resolver problemas matemáticos, sino que también te permite enfrentarte a otros desafíos o situaciones que requieren de razonamiento lógico, creatividad y reflexión. Además, el método de Polya se puede aplicar a otras disciplinas como la física, la química o la informática, donde también se plantean problemas que se pueden resolver siguiendo las mismas fases y adaptando las estrategias según el caso.

© 2023 ▷ Educapeques ➡➤ [ Método de Polya para resolución de problemas matemáticos ] Recursos para el aula ✏️ Ángel Sánchez Fuentes | 👨‍🎓Docente y creador de blogs educativos @educapeques