Binomio de Newton o teorema del binomio



Binomio de Newton o teorema del binomio
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El Binomio de Newton también conocido como teorema del binomio fue desarrollado en el año 1665 y notificado por primera vez en dos cartas enviadas por el funcionario administrativo de la Royal Society en el año 1676, la primera se envió dándole respuesta al matemático alemán Gottfried Wilhelm Von Leibniz quien necesitaba conocimientos de investigaciones matemáticas sobre series infinitas, razón por la cual, Newton le envió el resultado de su teorema.

 

Esta carta fue respondida por Leibniz quien le aseguró que el binomio era una técnica que servía para obtener resultados sobre cuadraturas o series. Gracias a este hallazgo Newton concluyó que era posible operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas.

 

Aunque Newton había hecho estos importantes hallazgos con las recomendaciones de Leibniz jamás llegó a publicar el teorema del binomio; el encargado de su publicación fue el matemático británico, John Wallis en el año 1685 en su álgebra, pero le atribuyó la creación de este binomio a Newton.

 

Se conoce como binomio a un polinomio que está formado por dos términos, a continuación te hablaremos un poco más acerca del Binomio de Newton para que conozcas la fórmula de este teorema e incluso té daremos algunos ejemplos matemáticos de utilidad.

 

Binomio de Newton fórmula


El binomio de Newton también llamado teorema binomial es un modelo de algoritmo que te permite obtener potencias a partir de binomios. Para poder obtener esta potencia binomial se utilizan los coeficientes llamados “coeficientes binomiales” los cuales son sucesiones de combinaciones. Las siguientes son las formulas generales separadas del binomio de Newton:

 

  • (a + b)2 = a2+ 2ab + b2
  • (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
  • (a + b)3= a3+ 3a2b+ 3 ab2 + b3

 

Las fórmulas mencionadas se conocen como entidades notables, donde se crea una fórmula más general que equivale al desarrollo de (a+b)n, siendo “n” un número entero natural cualquiera. Observando todos los coeficientes de cada polinomio resultante podemos ver que siguen esta secuencia:

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Triangulo de tartaglia

Esta secuencia se conoce como Triángulo de Tartaglia el cual se obtiene con la escritura en fila de los números combinatorios desde el numerador 1, esto quiere decir, que cada uno de los números que aparecen en el triángulo corresponde al valor de un número combinatorio de la siguiente manera:

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En esta imagen se puede ver que cada una de las filas empieza y culmina en 1 y los números que aparecen en ella dan origen a una fila simétrica, es decir, que el primero es igual al último y el segundo igual al penúltimo, de la misma manera se observa que cada uno de los números es el resultado de la suma de los dos que tiene sobre él. Para encontrar el valor de un número combinatorio debe utilizarse la siguiente fórmula:

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Con todos estos conocimientos ya puede resolver el binomio de Newton, cuya fórmula general es la siguiente:

 

formula general binomio de newton
Formula general binomio de Newton

 

Esta fórmula permite el desarrollo de la enésima potencia, siendo “n” un número entero positivo, de acuerdo al teorema es posible expandir la potencia (a+b)n en una suma que implica términos de la forma axb yc, donde los exponentes b y c son números naturales.

 

Binomio de Newton ejercicios


A continuación te dejaremos algunos ejercicios del binomio de Newton que pueden servirte de ayuda para comprender mejor la aplicación de este teorema:

 

Ejemplo 1

Hallar el mayor término del desarrollo

(x + 1)m

Para x=1/3 y m=5

Solución:

Para resolver este binomio aplicamos la fórmula de la potencia del binomio o binomio de Newton.

formula general binomio de newton
formula general binomio de Newton

En este desarrollo hay tener en cuenta que:

El exponente del 1er término es igual al numerador “n” menos el número de orden

El exponente del 2º término es igual al número de orden

Y sabiendo que:

Podemos poner, en este caso, y para evitar tener que calcular todos los términos y extraer el mayor, razonamos que al ser x=1/3, y el segundo término 1, aquel término que tenga el menor exponente en x será el mayor ya que la fracción 1/3 siempre será mayor que cualquier otra fracción que contenga en el denominador un múltiplo de 3.

 

Con respecto al segundo término al ser 1 da igual la potencia a la que esté elevado porque siempre será 1, así el mayor término será el que tenga como exponente x1, y ese término es el penúltimo, es decir:

 

Ejemplo 2:

Hallar el noveno término del desarrollo de:

( x – y)12

 

Solución:

Para resolver este binomio aplicamos la fórmula de la potencia del binomio o binomio de Newton.

formula general binomio de newton
formula general binomio de Newton

En este desarrollo hay tener en cuenta que:

  • El exponente del 1er término es igual al numerador “n” menos el número de orden
  • El exponente del 2º término es igual al número de orden

Calculamos el término noveno:


Y sabiendo que:

Podemos poner,


9º elemento

 

Vamos a aplicarlo tambien a un ejemplo sencillo del binomio de Newton que es el más típico que podremos encontrar (a+b)2. Lo explicamos en el siguiente vídeo

Calcular el cuadrado del binomio: (x+2)2

Aquí explicamos el Binomio de Newton de manera más avanzada

 

Espero hayas aprendido a resolver el famoso Binomio de Newton,  dejamos un comentario con tus dudas y sugerencias y acuérdate de votarnos pinchando en las estrellas y compartirlo en tus redes sociales.

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Angel Sanchez Fuentes

Porque los niños, cuando nacen, no vienen con un libro de intrucciones debajo del brazo, creé este rincón para ayudar a los niños, padres y docentes en el dificil pero maravilloso mundo de la educación.

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